จำลองการควบคุม Inverted Pendulum โดยตัวควบคุมแบบ PID บนโปรแกรม Matlab/Simulink -

Inverted Pendulum เป็นระบบพลศาสตร์ พื้นฐานสำหรับการศึกษาวิชา Control Systems ในงานชิ้นนี้จะนำเสนอการจำลองการควบคุม Inverted Pendulum เบื้องต้น โดยใช้แบบจำลองที่เป็นเชิงเส้น(Linearization)

Inverted Pendulum สามารถเขียน Free body diagram แยกออกจากกัน 2 ชิ้น ได้ดังนี้

M มวลของรถ (0.7kg)
m มวลของ Pendulum (0.3kg)
b สัมประสิทธิแรงเสียดทาน (0.1 N.m.s)
l ระยะทางจากจุดหมุนถึงศูนย์กลางมวลของ Pendulum (0.17m)
I โมเม้นความเฉื่อยของ Pendulum (0.06 $kg\cdot m^{2}$ )
F แรงที่กระทำต่อรถ (1 N)
g แรงโน้มถ่วงของโลก ( 9.81 $m\setminus s^{2}$ )
x ตำแหน่งของรถ จากการเคลื่อนที่
$\theta$ มุมของ Pendulum

จาก Free body diagram เราจะได้สมการพลศาสตร์ไม่เชิงเส้นดังนี้

(M + m) \ddot{x} + b \dot{x} + m l \ddot{θ} c o s θ - m l \ddot{θ} s i n θ = F

$(M+m)\ddot{x}+b\dot{x}+ml\ddot{\theta }cos\theta -ml\ddot{\theta }sin\theta =F$

(1)

(I + M l^{2}) \ddot{θ} + m g l s i n θ = m l \ddot{x} c o s θ

$(I+Ml^{2})\ddot{\theta }+mglsin\theta =ml\ddot{x}cos\theta$

(2)

สมมติให้การทำงานเกิดขึ้นในย่านแคบๆ จึงทำการเปลี่ยนสมการ (1) และ (2) ให้เป็นสมการเชิงเส้น (linearization) รอบๆ จุดทำงานคือ $\theta=0$ และจัดรูปสมการใหม่ จะได้

(\frac{1}{M + m}) (u - b \dot{x} + m l \ddot{θ}) = \ddot{x}

$\left ( \frac{1}{M+m} \right )(u-b\dot{x}+ml\ddot{\theta })=\ddot{x}$

(3)

(\frac{1}{I + m l^{2}}) (m g θ + m l \ddot{x}) = \ddot{θ}

$\left ( \frac{1}{I+ml^{2}} \right )(mg\theta +ml\ddot{x})=\ddot{\theta }$

(4)

ทำการเปลี่ยน สมการ (3) และ (4) เป็น Simulink control block ได้ดังนี้

สร้างระบบการควบคุมแบบวงปิด โดยการเพิ่ม PID Controller เข้าไปในระบบ

จากไดอะแกรมพีไอดีคอนโทรลเลอร์จะสามารถเขียนสมการได้เป็น

u = K_{p} e (t) + K_{i} \int e (t) d t + K_{d} \frac{d e (t)}{d t}

$u=K_{p}e(t)+K_{i}\int e(t)dt+K_{d}\frac{de(t)}{dt}$

(5)

ทำการเพิ่ม PID Conrtoller ลงไปในแบบจำลองที่เราสร้างขึ้นบนโปรแกรม Simulink จะได้

ในงานชิ้นนี้จะใช้การลองผิดลองถูก (trial and error) หาค่าพารามิเตอร์ของ PID Controller ขึ้นมาจำนวนหนึ่ง ซึ่งบางค่าก็ให้ผลตอบสนองที่ดี ทำให้ระบบโดยรวมมีเสถียรภาพ และบางค่าก็ทำให้ผลตอบสนองออกมาไม่ดี ระบบไม่มีเสถียรภาพ ดังตาราง

นำค่าพารามิเตอร์ของ PID ข้างต้นไปใส่ลงในสคริปไฟล์ PendulumScript.m ดังนี้

F=1;
M=0.6;
m=0.065;
l=0.178;
I=0.0027;
b=0.1;
g=9.81;
Sim_Time=5;
 
%PID CONTROLLER
Kp=120;
Ki=1;
Kd=25;
sim('Pendelum_Model_2016');
 
%Plot
figure
plot(IN.time, IN.data)
hold all
plot (OUT.time, OUT.data)
axis([0, 5, -0.2, 0.2]);
xlabel('Time (Seconds)')
ylabel('Amplitude')
title({'Case 4';' PID Gains: Kp = 120, Ki = 1, Kd = 25'});
lsiminfo(OUT.data, OUT.time)

เมื่อทำการ Run สคริปข้างต้น โปรแกรม Simulink จะทำการ simulation การทำงานโดยจะเห็นว่าระบบควบคุมแบบวงปิดจะพยายามรักษาให้มุมของ Pendulum $\theta=0$ ผลของจากจำลองระบบจะเป็นดังนี้