จำลอง การควบคุมตำแหน่ง(Position) ของดีซีมอเตอร์ ด้วยวิธี State Integral Control โดย Matlab/Simulink -

การควบคุมตำแหน่งการหมุนของ DC Motor เป็นแอพพลิเคชั่นที่เรียกว่า เซอร์โวมอเตอร์ที่เราเห็นกันในอุตสาหกรรม เพราะโดยปกติแล้ววัตถุประสงค์หลักของการเลือกใช้เซอร์โว ก็เพื่อต้องการนำมาใช้ในการควบคุมตำแหน่งการหมุนเป็นหลัก

การควบคุมตำแหน่งจะมีความซับซ้อนมากกว่าการควบคุมความเร็วเพราะมี Feedback Loop เพิ่มเข้ามาอีก 1 ลูป ซึ่งในบล๊อกนี้เราจะนำเสนอตัวควบคุมแบบ Integral เพิ่มเข้ามาในลูบนอกสุด แสดงได้ดังรูป

การออกแบบ Position Control จะประกอบด้วย 2 ขั้นตอน 1) ใช้วิธีการ Pole placement ที่ได้ศึกษาไปแล้วในบล็อกก่อนหน้า เลือกผลตอบสนองของ DC Motor ตามใจต้องการ ด้วยวิธี Pole Placement การหาค่า K เพื่อให้ระบบตำแหน่งของ Pole ตามที่เราต้องการ 2) ทำการเพิ่ม Position control close Loop

มาเริ่มขั้นตอนที่ 1

จากบล๊อก จำลองการทำงาน DC Motor ในรูปแบบสมการเสตท (State Equation) โดย Matlab เราจะได้สมการเสตทของ DC Motor ดังนี้

\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{b}{J} & \frac{K}{J} \\ -\frac{K}{L}& -\frac{R}{L} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{L}\end{bmatrix}v\)

(1)

จัดรูปสมการใหม่

\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \theta \\ \dot{\theta }\\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 \\ 0 &-\frac{b}{J} & \frac{K}{J} \\ 0& -\frac{K}{L} & -\frac{R}{L} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \theta \\ \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \\ 0\\ \frac{1}{L}\end{bmatrix}v\)

(2)

จากบล๊อก เลือกผลตอบสนองของ DC Motor ตามใจต้องการ ด้วยวิธี Pole Placement ทำให้เราทราบวิธี pole placement สำหรับหาค่า Kc เพื่อให้ระบบมีโพลตามที่เราต้องการ

สมมติว่าเราต้องการวางโพล 3 ตำแหน่งลงในระบบ ประกอบด้วย p1=-10+10i , p2=-10-10i , p3=-20;

โดยมอเตอร์ดีซี มาพารามิเตอร์ดังต่อไปนี้
J=0.01; %moment of inertia
b=0.1; %friction coefficient
K=0.075; %motor constant
R=1; %armature resistance
L=0.5; %inductance

เราสามารถคำนวณหาค่า Kc โดยใช้สคริปดังนี้

J=0.01;         %moment of inertia       
b=0.1;          %friction coefficient     
K=0.075;        %motor constant
R=1;            %armature resistance
L=0.5;          %inductance

%state with pole placement
A=[0 1 0
   0 -b/J K/J
   0 -K/L -R/L]
B=[0 ; 0 ; 1/L]
C=[1 0 0]
D=[0]; 


%desire poles

p1=-10+10i;
p2=-10-10i;
p3=-20;

%pole placement calculation gains K
Kc=place(A,B,[p1,p2,p3]);

%step unit test
t=0:0.001:20;
step(A-B*Kc,B,C,D,1,t)

จะได้ผลตอบสนองดังนี้

จะรูปผลตอบสนองเราพบว่าระบบมี Overshoot และ Settling ตามที่เราต้องการ แต่ผลตอบสนองอาจจะยังไม่ลู่เข้าสู่ค่าที่เรากำหนด การเพิ่มตัวควบคุม Intergral เข้าจะไปจะแก้ปัญหาดังกล่าวได้

สมการเสตทสามารถเขียนได้ว่า

\(\left\{\begin{matrix} \dot{x}=Ax+Bu \\ y=Cx\end{matrix}\right.\)

(3)

จากรูปที่ 1 เขียนอินพุตของระบบได้ใหม่เป็น

\(u=-K_{c}x+k_{i}e\)

(4)

พิจารณาเทอม \(k_{i}e\) จะได้ว่า

\(e=y-r\)

(5)

เปลี่ยนสมการ (5) เป็นตัวควบคุมแบบอินทิเกรท

\(E=k_{i}\int e\, dt\)

(6)

แทนสมการ (4) ลงใน (3) จะได้

\(\left\{\begin{matrix} \dot{x_{a}}=(A_{a}-B_{au}K_{c})x_{a}+B_{a}r\\ \theta =Cx_{a}\end{matrix}\right.\)

(7)

สมการ (5) จะกลายเป็น Matrix 4×4 โดยให้ \(k_{i}=1\) ประกอบด้วยสมการดังนี้

\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} E\\ \theta \\ \dot{\theta }\\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 &1 &0 &0\\ 0 &0 &1 &0\\ 0 &0&-\frac{b}{J} & \frac{K}{J} \\ 0&0& -\frac{K}{L} & -\frac{R}{L} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} e\\ \theta \\ \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0\\ 0 \\ 0\\ \frac{1}{L}\end{bmatrix}v+\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 0\\ 0\end{bmatrix}r\)

(8)

ทำการทอสอบ Position Control หลังจากเพิ่ม Integral Loop ได้โดยสคริปดังนี้

J=0.01;         %moment of inertia       
b=0.1;          %friction coefficient     
K=0.075;        %motor constant
R=1;            %armature resistance
L=0.5;          %inductance

%state with pole placement and integral 
Aa=[0 1 0 0
    0 0 1 0 
    0 0 -b/J K/J
    0 0 -K/L -R/L];
Ba=[ -1 ; 0 ; 0 ; 0];
Bau=[0 ; 0 ; 0 ; 1/L ];
Ca=[0 1 0 0];
Da=[0]; 

%desire poles
p1=-10+10i;
p2=-10-10i;
p3=-20;
p4=-30;
Kc=place(Aa,Bau,[p1,p2,p3,p4]);

%step unit test
t=0:0.001:20;
step(Aa-Bau*Kc,Ba,Ca,Da,1,t)

ได้ผลตอบสนองที่ลู่เข้าหา Set point ดังนี้

นอกจากการรันสคริปแล้ว เรายังสามารถทดสอบระบบโดยการใช้โปรแกรม Simulink โดยเราจะใช้สมการ (2) ในการวางคอนโทรลบล๊อกไดอะแกรม แสดงได้ดังภาพ

และทำการรับสคริปดังนี้

%motor parameter
%sim with I_State_DC_Motor_Model2.slx
A=[0 1 0;0 -10 7.5;0 -0.15 -2];
B=[0;  0; 2];
C=[1 0 0];

% Integral Constant
Ki=300; 

% Desire poles
p1=-10+10i;
p2=-10-10i;
p3=-20;
 
%pole placement calculation gains K
Kc=place(A,B,[p1,p2,p3]);
open('I_State_DC_Motor_Model2.slx')
sim('I_State_DC_Motor_Model2.slx')

จะได้ผลลัพธ์ดังนี้