ตัวสังเกตุแบบเต็มเสตท(Full State observer) + Integral Action สำหรับ Inverted Pendulum โดย Matlab/Simulink -

จะขอใช้ตัวอย่างจากบล๊อก ตัวสังเกตุแบบเต็มเสตท(Full State observer) โดย Matlab/Simulink และ การหาสมการเสตทของลูกตุ้มกลับหัว (Inverted Pendulum) ด้วยวิธีพลังงาน และจำลองระบบโดย Matlab มาเป็นตัวอย่างในการศึกษา โดยในบล๊อกนี้เราจะลองการทำงานของ Inverted Pendulum ด้วยวิธีการ Transfer function และจำลองการทำงานตัวสังเกตุ ด้วยวิธีการสมการเสตท(State space equation) และเพิ่ม Integral Action เพื่อตัวควบคุมระบบ

การออกแบบตัวสังเกตุแบบเต็มเสตท แต่ตัวควบคุมแบบอินทริเกรท มีขั้นตอนดังนี้

1) คำนวณหาค่า K ซึ่งจะใช้วิธีการ pole placement ศึกษาได้จากบล๊อก เลือกผลตอบสนองของ DC Motor ตามใจต้องการ ด้วยวิธี Pole Placement

2) คำนวณค่า Nbar เพื่อปรับสัญญาณอ้างอิง r ให้มีขนาดเสกลเดียวกับ y=Cx เช่นถ้าลู่เข้าหา 0.6 ( y=0.6) และ r เป็น unit step แสดงได้ดังรูป

การคำนวณหา \(\bar{N}\) เขียนเป็นสมการอย่างง่ายได้ว่า

\(r\times \bar{N}=y\)

(1)

3)คำนวณหาค่า L โดยคำนวณตาม Ogata

จากรูปที่ 1 จะเห็นว่า system state matrix คือ (A-BK) และ observer state matrix คือ (A-LC) โครงสร้างของทั้งสองเมทริคมีความเหมือนกัน จะแตกต่างกันที่ลำดับการวางตำแหน่งของเมทริคไม่ทราบค่า BK และ LC

จากทฤษฎีเราทราบว่า Eigen value ของ (A-LC) และ (A-LC)^T เหมือนกัน จึงสามารถเขียน observer state matrix ให้มีลำดับการวางของตำแหน่งเช่นเดียวกัน system state matrix ดังนี้

\((A-LC)^{T}=A^{T}-C^{T}L^{T}\)

(2)

สมการ Full state observer แสดงได้ดังนี้

\(\left\{\begin{matrix} \dot{Z}=A^{T}Z+C^{T}v\\ y^{\ast }=B^{T}Z\end{matrix}\right.\)

(3)

เราจึงสามารถใช้วิธีการ Pole placement กับสมการ (3) เช่นเดียวกับ system state matrix (A-BK)

\(|sI-\left ( A^{T}-C^{T}K_{o} \right )|=(s-\mu _{1})\cdots (s-\mu _{n})\)

(4)

โดยที่ \( \mu \) คือตำแหน่งโพลที่ต้องการ ปกติแล้วมักจะออกแบบให้ State Observer มีการตอบสนองเร็วกว่าระบบที่ถูกควบคุม

จากจะสมการ (4) เราพบว่า

\(L=K_{o}^{T}\)

(5)

ทั้งนี้หากระบบเป็นระบบที่สังเกตุได้(Observable) ค่า L จะคำนวณได้เสมอ

คำนวณ Matrix \(A_{o}\) ของ Observer ได้ดังนี้

\(A_{o}=A-LC\)

(6)

4) นอกจากนี้แล้วเพื่อควบคุมระบบให้เข้าสู่ค่า Set points จะมีการเพิ่มตัวควบคุมแบบ Integral เข้าไปด้วย ผู้สนใจสามารถศึกษาได้จากบล๊อก จำลอง การควบคุมตำแหน่ง(Position) ของดีซีมอเตอร์ ด้วยวิธี State Integral Control โดย Matlab/Simulink

นำสมการ (1) – (6) มาทำการจำลองการทำงานโดย Matlab Simulink โดยวางคอนโทรลบล๊อกไดอะแกรมดังภาพ

ทำการรันสคริป

clear;
clc;
close all;


% plant params (physical values)
g = 9.81;  % gravity [m/s^2]
cM = 5;    % Cart mass [kg]
pL = 0.25;  % pendulum length [m]
pm = 1;     % pendulum mass [kg]

% model parameter non-perfect characterization
cM_model = cM+0.2;
pL_model = pL-0.1; 
pm_model = pm-0.15; 

A = [0                      0                           1	0   0
     0                      0                           0	1   0
     0           (-pm_model*g)/cM_model                 0	0   0
     0	((cM_model+pm_model)*g)/(cM_model*pL_model) 	0	0   0
     1                      0                           0   0   0];
B = [0
     0
     1/cM_model
     -1/(cM_model*pL_model)
     0];
C = [1  0  0  0  0
     0  1  0  0  0
     0  0  0  0  1];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);
fprintf('\nControllability:\n\trank(ctrb(sys))=%d\n',rank(ctrb(sys)));


%% Initial values

theta_init = 0.2;   % initial pendulum angle [rad]
dTheta_init = 2.0;  % initial pendulum angular velocity [rad/s]


%% Controller

% use pole placement to determine K
p1 = -2 + 1i;
p2 = -2 - 1i;
p3 = -1.0000 + 0.2506i;
p4 = -1.0000 - 0.2506i;
p5 = -3;
K = place(A,B,[p1 p2 p3 p4 p5]);

figure;
    pzmap(ss(A-B*K,B,C,D)); title('controller');
    xlim([-12 1]);

%% Observer

fprintf('\nObservability:\n\trank(obsv(sys))=%d\n',rank(obsv(sys)));

% use pole placement to determine L
p1 = -10 + 10i;
p2 = -10 - 10i;
p3 = -5.0000 + 0.2506i;
p4 = -5.0000 - 0.2506i;
p5 = -8;
L=(place(A',C',[p1 p2 p3 p4 p5]))';

figure;
    pzmap(ss(A-L*C,B,C,D)); title('observer');
    xlim([-12 1]);

จะได้ผลลัพธ์ดังนี้