จำลองการทำงาน DC Motor ในรูปแบบสมการเสตท (State Equation) โดย Matlab -

จากที่เราเคยได้ศึกษาการหาแบบจำลองแบบ Single Input/Sigle Output (SISO) ของ DC มาแล้วในบล๊อก จำลองการทำงาน DC Motor ด้วย Matlab/Simulink ครั้งนี้เราจะมีจัดรูปสมการของ DC Motor ให้เป็นแบบ State Model

จากวงจรไฟฟ้าของดีซีมอเตอร์ ดังรูปที่ 1

J คือโมเม้นความเฉื่อยของโรเตอร์ (0.01 kg.m^s)
b คือสัมประสิทธิความหนืดของโรเตอร์ (0.1 N.m.s)
Ke คือค่าคงที่แรงเคลื่อนไฟฟ้า (0.01 V/rad/s)
Kt คือค่าคงที่แรงบิดของมอเตอร์ (0.01 N.m/A)
R คือค่าความต้านทานขดลวดอาเมเจอร์ (1 Ohm)
L คือค่าการนำไฟฟ้าของขดลวดอาเมเจอร์ (5 H)

สมการแรงบิดของมอเตอร์สามารถเขียนได้ดังนี้

\(T=K_{t}i\)

(1)

แรงดัน Back E.M.F. มีสมการคือ

\(e=K_{e}\dot{\theta }\)

(2)

ปกติ ดีซีมอเตอร์ จะออกแบบให้ \(K_{e}=K_{t}\) เราจึงมักใช้สัญลักษณ์ \(K\)

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน เราจะได้สมการไดนามิคทางกลดังนี้

\(J\ddot{\theta }+b\dot{\theta }=\tau =Ki\)

(3)

และจาก Kirrchoff Voltage Law จะได้สมการทางไฟฟ้าดังนี้

\(L\frac{di}{dt}+Ri=v-K\dot{\theta }\)

(4)

Take Laplace transform สมการ (3) และ (4) จะได้

\(s(Js+b)\Theta (s)=KI(s)\)

(5)

\((Ls+R)I(s)=V(s)-Ks\Theta (s)\)

(6)

แทนสมการ (6) ลงใน สมการ (5) จะได้ Transfer function ดังนี้

\(\frac{\dot{\theta }(s)}{V(s)}=\frac{K}{(Js+b)(Ls+R)+K^{2}}\; \frac{rad/s}{V}\)

(7)

ทำการจัดรูปสมการ (3) และ (4)

\(\frac{d\dot{\theta }}{dt}=-\frac{b}{J}\dot{\theta }+\frac{K}{J}i\)

(8)

\(\frac{di }{dt}=-\frac{K}{L}\dot{\theta }-\frac{R}{L}i+\frac{1}{L}v\)

(9)

เขียนสมการ (8) และ (9) ในรูป Matrix จะได้ดังนี้

\(\frac{d}{dt}\begin{bmatrix} \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -\frac{b}{J} & \frac{K}{J} \\ -\frac{K}{L}& -\frac{R}{L} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{L}\end{bmatrix}v\)

(10)

และกำหนดให้ความเร็ว เป็นผลตอบของระบบ จะได้สมการ

\(y=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \dot{\theta } \\ i\end{bmatrix}\)

(11)

ทดสอบการทำงานโดยการรับ Script ดังนี้

% Motor parameter
J = 0.01;
b = 0.1;
K = 0.01;
R = 1;
L = 0.5;

% State Model
A = [-b/J   K/J
    -K/L   -R/L];
B = [0
    1/L];
C = [1   0];
D = 0;
sys = ss(A,B,C,D);

% Open Loop Step Test
step(sys)

จะได้ผลลัพธ์ดังนี้