Mass Spring Damp ในรูปของสมการเสตท (State Equation) พื้นฐานการศึกษาระบบควบคุมขั้นสูง -

Mass spring damped system นอกจากจะเขียนสมการพลศาสตร์ในรูป SISO แล้ว ยังสามารถเขียนอยู่ในรูปของ State Equation ได้ด้วย โดยสามารถเขียน Free body diagram ได้ดังนี้

**รูปที่ 1** Free body diagram ของ Mass spring damp system

จากกฎข้อที่สองของนิวตัน เราสามารถเขียนสมการพลศาสตร์ ได้ดังนี้

\(m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F\)

(1)

m คือน้ำหนักของมวล
b คือสัมประสิทธิแรงเสียดทาน
k คือสัปประสิทธิของสปริง
F คือแรงที่กระทำต่อมวล

จัดรูปสมการ (1)

\(\ddot{x}=-\frac{b}{m}\dot{x}-\frac{k}{m}x+\frac{F}{m}\)

(2)

สมการเสตท สามารถเขียนในเป็นบล๊อกไดอะแกรมได้ดังนี้

**รูปที่ 2** บล๊อกไดอะแกรมของ State space model

เราสามารถเปลี่ยนสมการ (1) ให้อยู่ในรูปของ สมการเสตท โดยการกำหนดตัวแปรเสตทดังนี้

\(X=\begin{bmatrix} x \\ \dot{x}\end{bmatrix}\)

(3)

ทำดิฟเฟอเรนชิเอต สมการ (3) หนึ่งครั้งจะได้

\(\dot{X}=\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \ddot{x}\end{bmatrix}\)

(4)

แทนสมการ (2) ลงใน สมการ (4)

\(\dot{X}=\begin{bmatrix} \dot{x} \\ \ddot{x}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0 & 1 \\ -\frac{k}{m} & -\frac{b}{m} \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0 \\ \frac{1}{m}\end{bmatrix}F\)

(5)

และสมการเอาพุตของสมการเสตท เขียนได้ดังนี้

\(y=\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ \dot{x}\end{bmatrix}\)

(6)

ทดสอบการจำลองได้โดย Script ดังนี้

%mass spring damp parameter
m = 1;
k = 1;
b = 0.2;
F = 1;

% Put into Matrix
A = [0 1; -k/m -b/m];
B = [0 1/m]';
C = [1 0];
D = [0];

% Make it be state equation
sys = ss(A,B,C,D);


% Step test
step(sys)
legend('MSD to Step')

จะได้ผลลัพธ์ดังนี้