การควบคุมระดับนํ้าของกระบวนการสองถังที่เชื่อมต่อกัน (coupled tanks process) -

การศึกษาระบบควบคุมระดับน้ำในถังที่เชื่อมต่อกัน เริ่มต้นที่การศึกษาแบบจำลองของระบบรักษาระดับน้ำถังเดียว แสดงดังรูปที่ 1

อัตราการไหลออกของของไหลแสดงได้ด้วยสมการ

q_{o u t} (t) = k h (t)

$q_{out}(t)=kh(t)$

(1)

โดยที่ $k$ เป็นค่าคงที่

สมการสมดุลมวลของระบบถังเดียวเขียนได้ดังนี้

q_{i n} (t) - q_{o u t} (t) = \frac{d V (t)}{d t}

$q_{in}(t)-q_{out}(t)=\frac{dV(t)}{dt}$

(2)

โดยที่ $V(t)$ คือปริมาตรของของไหล

จัดรูปสมการ (2) จะได้

q_{i n} (t) - q_{o u t} (t) = \frac{d A_{T} h (t)}{d t} = \frac{A_{T} d h (t)}{d t}

$q_{in}(t)-q_{out}(t)=\frac{dA_{T}h(t)}{dt}=\frac{A_{T}dh(t)}{dt}$

(3)

แทนค่า $q_{out}$

q_{i n} (t) - k h (t) = \frac{A_{T} d h (t)}{d t}

$q_{in}(t)-kh(t)=\frac{A_{T}dh(t)}{dt}$

(4)

จัดรูปสมการ (4) จะได้สมการพลศาสตร์ของระบบถังที่ 1

\frac{d h_{1} (t)}{d t} + \frac{k}{A_{T}} h_{1} (t) = \frac{1}{A_{T}} q_{i n} (t)

$\frac {dh_{1}(t)}{dt}+\frac{k}{A_{T}}h_{1}(t)=\frac{1}{A_{T}}q_{in}(t)$

(5)

ต่อมาพิจารณาหาสมการพลศาสตร์ของถังที่ 2 ดังแสดงในภาพที่ 2

สมการสมดุลมวลของระบบถังที่สองเขียนได้ดังนี้

\frac{d h_{2}}{d t} = \frac{k_{2} (h_{1} - h_{2})}{A_{2}} - \frac{k_{3} h_{2}}{A_{2}}

$\frac{dh_{2}}{dt}=\frac{k_{2}(h_{1}-h_{2})}{A_{2}}-\frac{k_{3}h_{2}}{A_{2}}$

(6)

สมการ (5) และ (6) เขียนในรูปสมการเสตท ได้ดังนี้

[\begin{matrix} \frac{d h_{1}}{d t} \\ \frac{d h_{2}}{d t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} \frac{- k_{2}}{A_{1}} & \frac{k_{2}}{A_{1}} \\ \frac{k_{2}}{A_{2}} & \frac{- (k_{2} + k_{3})}{A_{2}} \end{matrix}] + [\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} \frac{1}{A_{1}} \\ 0 \end{matrix}] = q_{i n}

$\begin{bmatrix} \frac{dh_{1}}{dt} \\ \frac{dh_{2}}{dt}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \frac{-k_{2}}{A_{1}} &\frac{k_{2}}{A_{1}} \\ \frac{k_{2}}{A_{2}}&\frac{-(k_{2}+k_{3})}{A_{2}} \\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} h_{1} \\ h_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \frac{1}{A_{1}} \\ 0\end{bmatrix}=q_{in}$

(7)

y = [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}] + [0]

$y=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} h_{1} \\ h_{2}\end{bmatrix}+[0]$

กำหนดให้

$A_{1}=A_{2}$ = 32 cm^2
$k_{2}=k_{3}$ =14.3

แทนค่าลงในสมการ (7) จะได้

[\begin{matrix} \frac{d h_{1}}{d t} \\ \frac{d h_{2}}{d t} \end{matrix}] = [\begin{matrix} - 0.4469 & 0.4469 \\ 0.4469 & - 0.8938 \end{matrix}] + [\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}] + [\begin{matrix} 0.03125 \\ 0 \end{matrix}] = q_{i n}

$\begin{bmatrix} \frac{dh_{1}}{dt} \\ \frac{dh_{2}}{dt}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -0.4469 & 0.4469 \\ 0.4469 & -0.8938\\ \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} h_{1} \\ h_{2}\end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 0.03125 \\ 0\end{bmatrix}=q_{in}$

(8)

y = [\begin{matrix} 0 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} h_{1} \\ h_{2} \end{matrix}] + [0]

$y=\begin{bmatrix} 0 & 1\\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} h_{1} \\ h_{2}\end{bmatrix}+[0]$

นำสมการ (8) ไปสร้างเป็น control block diagram บนโปรแกรม Simulink ดังนี้

ทำการรันสคริปดังนี้

%%state model
A=[-0.4469 0.4469; 0.4469 -0.8938];
B=[0.03125;0];
C=[0 1];
D=[0];
 
%%check controlable
p=ctrb(A,B);
rankp=rank(p)
 
%%check observable
q=obsv(A,C);
rankq=rank(q)
 
%creat transfer function
[num1,den1]=ss2tf(A,B,C,D,1)
 
open("two_tank.slx")
sim('two_tank.slx')

จะได้ผลลัพธ์การจำลองการทำงาน ซึ่งจะพบว่าผลตอบสนองของระบบยังไม่ลู่เข้าสู่ค่า Set Point ทั้งนี้เพราะยังมิได้มีการเพิ่มตัวควบคุมที่เหมาะสมให้แก่ระบบ ดังนี้