จำลองการทำงานของระบบ First Order System โดย Matlab/Simulink -

ระบบทางวิศวกรรมจำนวนมากสามารถประมาณผลการตอบสนองด้วยสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ซึ่งสามารถเขียน Laplace Transform Control block diagram ได้ดังนี้

จากบล๊อกไดอะแกรม เราสามารถจัดรูปสมการ Transfer Function ได้เป็น

\( \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{G(s)}{1+G(S)}\)

(1)

แทนค่า \(G(s)\) ด้วยสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่งของระบบที่เราสนใจ

\(G(s)=\frac{1}{sT}\)

จัดรูปสมการ (1) ใหม่จะได้

\( \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{\frac{1}{sT}}{1+\frac{1}{sT}}=\frac{1}{sT+1}\)

(2)

ในที่นี้เราจะทดสอบระบบด้วย Unit step input ดังนั้น R(s) สามารถเขียนในรูปของ Laplace Transform ได้ดังนี้

\(R(s)=\frac{1}{s}\)

จัดรูปสมการ (2) จะได้

\(C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{1}{s(sT+1)}\)

(3)

ทำการ partial faction สมการ (3) สามารถจัดรูปสมการใหม่ได้เป็น

\(C(s)=\left ( \frac{1}{sT+1} \right )\left ( \frac{1}{s} \right )=\frac{A}{s}+\frac{B}{sT+1}\)

(4)

จากการเปรียบเทียบค่าสัมประสิทธิของสมการที่ (4) ทำให้เราทราบว่า A=1 และ B=-T

แทนค่า A และ B เราจะได้

\(\frac{1}{s}+\frac{-T}{sT+1}=\frac{1}{s}-\frac{T}{T(s+\frac{1}{T})}=\frac{1}{s}-\frac{1}{s+\frac{1}{T}}\)

(5)

ทำการ Inverse Laplace สมการที่ (5) เราจะได้สมการผลตอบสนองของระบบต่อ Unit step input ในโดเมนของเวลาดังนี้

\(c(t)=\left ( 1-e^{\frac{t}{T}} \right )u(t)\)

(6)

จากสมการผลตอบสนองของระบบ เราจึงเห็นว่า c(t) จะลู่เข้าหาค่า 1 แต่ในทางปฏิบัติระบบอาจจะลู่เข้าหาค่าอื่นๆ ดังนั้นในการจำลองการทำงานของระบบเราจะเพิ่มค่า K เรียกว่า DC Gain ลงใน Transfer function ของระบบในสมการที่ (2)

ค่า T ที่ได้จากการจัดรูปสมการคือค่า Time constant ของระบบ เป็นค่าที่จะใช้ประมาณการว่าระบบของจะลู่เข้าสู่ 63% ของผลตอบสนองในช่วงอยู่ตัว(steady state) ที่เวลาเท่าใด

\( \frac{C(s)}{R(s)}=\frac{K}{sT+1}\)

(7)

ในทางทฤษฎีเราสามารถ plot graph ผลตอบสนองของระบบตามสมการที่ (6) ต่อค่า Time Constant ได้ดังนี้

เราจะนำสมการ (7) Transfer Function ของระบบพลศาสตร์ที่มีสมการอนุพันธ์อันดับหนึ่ง ไปจำลองการทำงานในโปรแกรม Matlab/Simulink โดยสมมติว่าระบบที่เราสนใจศึกษาเป็นระบบที่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่ง และเมื่อจัดรูปสมการของระบบแล้วจะมีค่า K=5 และค่า Time Constant(T) = 0.05 และป้อน Unit step input ให้แก่ระบบ