การหาทางเดินของราก(Root Locus) ของระบบพลศาสตร์ โดยโปรแกรม Matlab -

ระบบควบคุมแบบวงปิด สามารถเขียนบล็อกไดอะแกรมได้ดังนี้

จากบล็อกไดอะแกรม จะได้ Close Loop Transfer function ของระบบได้เป็น

\(\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{KH(s)}{1+KH(s)}\)

(1)

เทอมส่วนของ Transfer function เมื่อให้เท่ากับศูนย์ เรียกว่า สมการคุณลักษณะเฉพาะของระบบที่จะใช้ในการวิเคราะห์เสถียรภาพของระบบ

\(1+KH(s)=0\)

(2)

จากสมการ (2) จะเห็นว่าค่า K มีผลต่อค่ารากของระบบ หรือกล่าวได้ว่าค่า K มีผลเสถียรภาพของระบบ

ระบบจะมีเสถียรภาพถ้าค่าโพลของระบบ อยู่ด้านซ้ายของ Complex plane ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงค่า K จะมีผลต่อตำแหน่งโพลของระบบ ที่คำนวณได้จากค่ารากของสมการ (2) ดังนั้นในการเลือกค่า K จะต้องเลือกให้โพลอยู่ด้านซ้ายของ Complex plan ซึ่งจะทำให้ระบบมีเสถียรภาพ หากโพลอยู่บนแกน Imaginary ของ Complex plan จะทำให้ระบบเกิดการ Oscillation และถ้าหากโพลอยู่ด้านขวาของ Complex plan ระบบไม่มีเสถียรภาพ

Root locus คือการศึกษาตำแหน่งของโพลทุกตำแหน่งบน Complex plane ที่ได้จากค่ารากของสมการคุณลักษณะเฉพาะเมื่อค่า K เปลี่ยนแปลงไป ซึ่งหากต้องการร่าง Root Locus ด้วยมือจะมีขั้นตอนและรายละเอียดเยอะพอสมควร

Matlab ได้เตรียมเครื่องมือสำหรับการคำนวณหาทางเดินของราก และแสดงผลในรูปกราฟฟิค ทำให้การออกแบบระบบเป็นไปอย่างสะดวกรวดเร็ว

ในการหาศึกษาทางเดินของรากบน Complex plane โดยใช้โปรแกรม Matlab เราจะใช้ Open Loop Transfer Function ของสมการ (1) ดังนี้

\(KH(s)=\frac{80(s+5)}{s^{2}(s+50)}\)

และมี Matlab script ดังนี้

num= [80 400];
den= [1 50 0 0];
sys=tf(num,den)
rlocus (sys);
pole(sys)
zero(sys)
y=[-100,100];
x=[-22.5 -22.5];
line(x,y,'Color','black','LineStyle','--')
hold on
plot(-22.5,0,'*'); % centroid point plotting.
% breakaway points plotting.
plot(-12.5,0,'*');
plot(-20,0,'*');
plot(0,0,'*');
hold off
%step(feedback(sys,-1));

เราสามารถ copy ชุด Matlab script ด้านบนแล้วนำไปวางที่ Command window ในโปรแกรม Matlab ก็จะให้ผลการคำนวณหาทางเดินของรากดังภาพด้านล่าง